数学はなぜ哲学の問題になるのか

　数学と、数学の哲学をメタ的に考える一冊。

　数学は人の領域を（論理的に）超えることができる。「数学でなしうる範囲＝人の抽象化できる限界」にもかかわらず、数学の範囲内の概念を対応付けることにより新たな領域を拡張することができるから。ポール・ゴーギャンの『我々はどこから来たのか？ 我々は何者か？ 我々はどこへ行くのか？』への応答の一つになる。数学が哲学の問題になる理由は、ここにある。

　「自然数」から始める。0を入れるとか入れぬとかいった議論を端折って、1、2、3......がなぜ natural なのかというと、人の指が1、2、3......だから。10で繰り上がるのが一般化した理由も、人の両手の指の合計が10だから。ウマの指の数は一つの脚につき1本だという。ガリヴァー旅行記に登場するウマの姿をしたフウイヌム族の数学は、4進数に違いない。

　しかし、知能を持つ存在が手や指を持たなかったら？　深海に棲むクラゲのような種族だったとしたら？　周囲にあるのは水で、個々の物体を相手にする機会はない。クラゲにとって、基本的な知覚データは運動、温度、圧力だけになる。このような純粋な連続体のなかでは、不連続な量は発生しないので、数えるものは何もない。

　つまり、「数を数える」という行為は、不連続な量が発生する世界に身体を持つ存在にとって「自然」な行為なのである。「自然」数を始めとし、分数、整数、有理数、無理数、実数、複素数と数を拡張していった。同様に図形や構造、空間といった数学的なテーマも、人の身体や知覚を基盤とし、そこからの組み合わせ・対応付けを繰り返すことによって拡張していったといえる。

　これを逆アセンブルすると、認知科学から数学の「まだ拡張していない範囲」が導き出せるのではないか、というテーマがわたしの問題認識である。「数学とは何か」を考えることは、「人とは何か」について論理的に考えることになり、数学の拡張は、そのまま人の思考能力の拡張につながる。この考察は、レイコフ『数学の認知科学』で学んだ（数学を概念メタファーにより分解し、最終的には最終的にはオイラーの式「e^πi=-1」を、概念メタファーで直接理解させるスゴ本なり[書評]）。

　そんなわたしにとって、本書を読むことは、たいへんスリリングな体験だった。タイトルに注目してほしい。『数学はなぜ哲学の問題になるのか』（Why Is There Philosophy of Mathematics At All?）は、「数学の哲学」そのものを問うている。

　重要なポイントは、著者イアン・ハッキングが「数学とは何か」そのものについて答えようとしていないところにある。むしろ、「数学とは何か」について議論してきた数学者や哲学者を半ば揶揄するような言い回しで、数学の哲学の問題圏を明らかにする。「数学とは何か」という問いを成立させている状況が、何によって由来し、どのような前提のもとに議論されてきたのかを問い直している。

　この問い直しにより、暗黙のうちに受け入れてしまった前提や、所与のものとして未検討のまま議論に持ち込んでいる条件が明らかになる。数学が「数を数える」ところから出発している前提は、わたしたちが不連続な世界を「自然」と見なしているからに拠る。数学の世界から「時間」が注意深く取り除かれていることは以前から気になっていたが、本書によると、イマヌエル・カントが早々と指摘していたという。

　「数学とは何か」に答えるアプローチとして歴史を振り返ると、数学を「発見されるもの」と見なす考え方と、「発明されるもの」として扱う考え方と、2つの観点が挙げられる。この議論は、マリオ・リヴィオ『神は数学者か？』に詳しい[書評]。

　「発見される数学」としては、天文を観察し、そこから導き出されたケプラーの法則や、ニュートンの力学が該当する。自然から抽象化された規則を記述するための言語が、「数学」だという考え方だ。数学に対しプラトンのイデア論を挙げたり、「神は数学する」「宇宙とは数学そのものだ」と主張する者もいる。

　「発明される数学」としては、非ユークリッド幾何学が誕生した経緯が象徴的である。ユークリッド幾何学を調べていくうち、それが世界を記述する唯一で必然の体系ではなく、単なる取り決められた「ルールの一つ」に過ぎないことが公になる。つまり数学は、様々なルールを「選ぶ」ことで演繹体系を作り上げるゲームのようなものになる。

　こうした議論に対し、ハッキングは数学は所与であったことを指摘する。「発見」されるものであれ、「発明」されるものであれ、対象となる数学的概念が最初にあり、それをどう分析し、そこから数学が何であるかを説明的に述べているにすぎないという。

　ハッキングの考えはこうだ。「数学の哲学」の中で問題を成立させている条件によって、他ならぬその問題そのものが決定されているのではないか？　という申し立てである。ある種の概念化によって問いが成り立つとき、その概念を支える前提によって問答が決まってくると言いたいのである。かつてはユークリッド幾何学が数学的な最高基準であったし、現在は証明こそが目指すところだろう。だが、これらは歴史的経緯による偶発的な問題にすぎないという。

　そして、学習と省察の後に完璧な理解（Aha！）が一挙に訪れる「デカルト的証明」と、体系的なチェックを機械的に一行一行積み重ねたうえで到達する「ライプニッツ的証明」という両極端な2つの観念を提示する。

　両者は同じ「証明」という言葉が使われているものの、20世紀になって、だんだん食い違いを見せ始めたという。そうすることで、「証明」が多様なものであること、さらには証明のない数学の可能性までも考察する。つまり、「証明」のような概念ですら、特定の時代や集団に限定されており、ある特定の推論スタイルのもとで初めて「証明」が証明としての意義をもちうるのだ。

数学は人間的な活動である。それは、われわれの肉体に、その脳やその手に根差した営みである。また、それを形作ってきたのは、きわめて特定的な時代と場所における人間の共同体である。人間の能力には、数学的な思考を行うための、ある一定の認知能力の地層とでも言うべきものがあり、われわれ人間はその活用法を見出してきたわけだが、数学的思考の前提条件としての精神状態も、こうした地層の一部をなしている。

　数学は所与の、「当たり前の」ものとして扱っている限り、数学的活動は既存の新たな組み合わせによる「発見」か「発明」になる。人間的活動である数学を「数学」たらしめているスタイルが、時代や社会によって変わっていくのであれば、数学を用いて人を超えることだってできる。数を拡張してきたように、概念をも拡張することができるのである。

　数学と、数学の哲学をメタ的に考えるために、読んで欲しい一冊。