驚異の数、魅惑の図形「偏愛的数学」

　ひたすら驚き、戸惑い、不思議がる数学書。

　簡単な四則演算なのに、単純な円や三角形なのに、驚くべき性質やふるまいを次々と紹介される。特徴は、タネやしかけを言わないところだな。普通の数学書だと、興味深い数や図形の性質を示した後、「なぜそうなのか」という証明を延々と述べる。ところが本書は、論証抜きで鑑賞しようというのが狙いになる。

　これは諸刃の剣で、数式や証明を追いかけるのが大好きな方には、フラストレーションが溜まるかもしれない。「驚異の数」で畏怖の念を味わい、「魅惑の図形」で視覚的美しさを堪能する、一風変わった数学書なのだから。その代わり、手助けとなる推奨文献の注釈が充実しているのでご安心を。

　著者曰く、「不思議だが本当だ！」でビックリさせられたのは、次の式「和ゼロの驚異」。これはなんて事のない偶然0になっただけの式に見える。

123789^2 + 561945^2 + 642864^2 - 242868^2 - 761943^2 - 323787^2 = 0

ところが、次の操作を行っても、和はゼロのままになる。

【操作1】　各数値の10万の位（左端の数字）を消してみると…

23789^2 + 61945^2 + 42864^2 - 42868^2 - 61943^2 - 23787^2 = 0

　なんと！結果はゼロのまま。さらに各数値の左端の数を消すというプロセスをつぎつぎにくり返してみると…やはりゼロのまま。信じられないが、本当だ。だんだん怖くなってくる。

3789^2 + 1945^2 + 2864^2 - 2868^2 - 1943^2 - 3787^2 = 0
789^2 + 945^2 + 864^2 - 868^2 - 943^2 - 787^2 = 0
89^2 + 45^2 + 64^2 - 68^2 - 43^2 - 87^2 = 0
9^2 + 5^2 + 4^2 - 8^2 - 3^2 - 7^2 = 0

【操作2】　各数値の1の位（右端の数字）を消してみると…

12378^2 + 56194^2 + 64286^2 - 24286^2 - 76194^2 - 32378^2 = 0
1237^2 + 5619^2 + 6428^2 - 2428^2 - 7619^2 - 3237^2 = 0
123^2 + 561^2 + 642^2 - 242^2 - 761^2 - 323^2 = 0
12^2 + 56^2 + 64^2 - 24^2 - 76^2 - 32^2 = 0
1^2 + 5^2 + 6^2 - 2^2 - 7^2 - 3^2 = 0

【操作3】　さらに、右端と左端の数字を同時に消してみると…　

2378^2 + 6194^2 + 4286^2 - 4286^2 - 6194^2 - 2378^2 = 0
37^2 + 19^2 + 28^2 - 28^2 - 19^2 - 37^2 = 0

　なんでこんなことができるんだ！と目を疑う。この規則性が一般的でありえないのは明らかだが、そもそも誰がどんなきっかけで思いついたんだと想像すると、正気と狂気の境目に目を剥く。

　もっと単純に、美しさに気づかされることがある。実際に足すことなくたくさんの数値の和を求める話で、次のS1、S2の式がある。これらは等しいだろうか？

S1 = 100000000 + 120000000 + 123000000 + 123400000 + 123450000 + 123456000 + 123456700 + 123456780 + 123456789
S2 = 987654321 + 87654321 + 7654321 + 654321 + 54321 + 4321 + 321 + 21 + 1

規則性は瞭然だが、足さずに表に示すことで、直感的に結果が明らかになる。

　こんな感じで、おなじみ友愛数や回文数から、ネーピアの算木、ロシア農夫式乗算法といった数の不思議さを満喫する。

　さらに下巻では幾何を中心に扱い、円、三角形、長方形といった一見単純に見える図形から引き出された驚くべき（でも正しい）事実を述べている。ナポレオン三角形なんて、ここで初めて知った。おもわず「あっ」と叫んだのは、「円に内接するどんな四角形からでも長方形を導き出す方法」だ。円に内接する四角形の各角の二等分線を引き、それらが円と交わる4つの点は、いつでも長方形をなすという。これはスゴい！

　おそらく中学レベルの問題なのだろうが、とっかかりがつかめぬ。「円に内接する」という本質が分かっていないのだろう。けれど、「証明」してしまったらこの魅力がタネ明かしされてしまう。完全に負け惜しみだが、ここは不思議なままにしておこう。今の頭だとエレガントな解法が思い浮かばない…半径1、原点(0,0)の円と円周上の4つの点を適当にとってゴリゴリ力技でやっちゃいそうだなぁ…