数式なしでわかった気になれる「ゲーデルの哲学」

　岩波文庫で撃沈したが、本書から攻めたらすんなり入れた。数式を使わずアナロジーを用いることで、不完全性定理のイメージを上手く伝えている。同時にゲーデルの生涯を追いながら、不完全性定理の哲学的帰結までたどっている。

　哲学的帰結は以下のとおり。

全数学を論理学に還元することは不可能である
全数学を公理化することも不可能である

　この完全な理解にはほど遠いものの、感覚的に分かった。おかげで、あれほど確固なものだった「数学」が、実は「信念」を積み重ねた楼閣に見えてしようがない。わたしは、「数」を信じるように、不完全性定理を信じる。

■01　受験数学の呪い

　「要するにどういうことか」は、理解をすッ飛ばして記憶した。数学は暗記科目――受験数学の呪いは骨の髄まで浸透している。公理と定理を暗記して、adaption パターンを習得するのが「数学」だと思い込んでいた。

　そこには、自ら定理を導出する喜びや、新たな定理を発見する興奮なんて、まるで無い。「受験数学」という巨大なスプレッドシート、そこにびっちり埋まった定理・証明を、いかに効率よく網羅するかがポイントだった。

　究極の数学とは、A1からIV65536の全てを定理・証明で埋めることだと思っていた――ここで止めておけばよかった。そうすれば、少なくとも数学に対する信頼感は揺らぐことはなかっただろう。

■02　第1不完全性定理のイメージ

　しかし、このトシになってゲーデルに興味を持ってしまったのが運の尽き。疑うことなく信じてた（記憶した）足元がくずれはじめる。なぜなら、A1からIV65536の中に、「証明不可能」のセルがあることが分かったから。

　たとえば、ゴールドバッハの予想（4以上の偶数は素数の和）、あるいは、奇数の完全数の未解決問題。これらは未だに証明も反証もされていないという。いやいや、それは人手や非力なコンピュータだったからであって、そのうち、そのセルは「証明済」になるはず。

　では、じゅうぶんな時間をかけて立派なコンピュータを用いれば、全てのセルを「定理・証明済」にできるのかというと―― そいつを先回りしてダメ出しをしたのがゲーデル。

　つまり、わたしが知っている数学（公理系）が、Excelシートの個々のセルに展開されるとき、証明も反証もできないセルが、必ず存在することをゲーデルが証明したわけ。これは65535行の制約を外しても、わたしの知らない数学（公理系）まで展開しても、一緒。

■03　第2不完全性定理のイメージ

　ほとんど直感に近いところで理解した（つもり）。言葉をかえると、「あなたが矛盾しないことをあなたは証明できない」になる。Wikipediaはもっと精確に、次のように述べている。

自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない

　自分が矛盾しているか否かは、確定された別の客体によって証明されるもの、というのは感覚的に分かる。しかし、それだけではないらしい。

さらに、ゲーデルは、数学が公理系によって正当化されることを認めた上で、その公理の正当性を認識するのは、「数学的直感」に基づくという新たな見解を述べている。彼は、「諸公理は、それらが余儀なく真であることを、私たちに強いるのである」という

　「強いる」と太字化したのはわたし。この一言にガッツンとやられた。いまの数学が正しいと信じていられるのは、わたしが人間だからなんだね。ん? すると数学的直感をもたらしている「外側」は、一体どこからなんだろうね? と考え始めると、薄ら寒くなって、思わず背後をふりかえる。数学的対象が、人間精神から独立した存在で、その真理性を保証しているのは「神」にしたくなる。

■04　ゲーデルの哲学的見解

　1960年頃に書かれた、ゲーデルの哲学的信条は、以下のとおり。

1. 世界は合理的である
   
2. 人間の理性は、原則的に、（あるテクニックを介して）より高度に進歩する
   
3. すべての（芸術等も含めた）問題に答えを見出すために、形式的な方法がある
   
4. （人間と）異なり、より高度な理性的存在と、他の世界がある
   
5. 人間世界は、人間が過去に生き、未来にも生きるであろう唯一の世界ではない。
   
6. 現在知られているよりも、比較にならない多くの知識が、ア・プリオリに存在する
   
7. ルネサンス以降の人類の知的発展は、完全に理性的なものである
   
8. 人類の理性は、あらゆる方向へ発展する
   
9. 正義は、真の科学によって構成される
   
10. 唯物論は、偽である
    
11. より高度な存在は、他者と、言語でなく、アナロジーによって結びつく
    
12. 概念は、客観的実在である
    
13. 科学的（厳密な学としての）哲学と神学がある。これらの学問は、最も高度な抽象化概念を扱う。これらが、科学において、最も有益な研究である
    
14. 既成宗教の大部分は、悪である。しかし、宗教そのものは、悪ではない

　なんて素敵なオポチュニストなんだろう、うらやましいなぁ（死にざまはペシミスティックだったが）。ともあれ、数学がもっと柔らかいものであることに気づかされた一冊。ちなみに、神の存在証明の全文が紹介されていたが、理解不能、他から攻めてみよう。