「無限のスーパーレッスン」に酩酊する

　ゲーデル入門のつもりで読んだが、「数」の恐ろしさを思い知ると同時に、確かだと思い込んでたリアルがゆらぐ。急に足元が消えたような感覚にとらわれる。そのへんのミステリよりも背すじが寒くなる。

　8章まで面白く読める。聞き手の「おっさん」が程よく分かっていないので、絶妙の質問をしてくる。まるでわたしの代わりのようだ。おかげで、「わからない」から「わかる」快感をたっぷり味わう。

　興味深いのは、「わかった」とするときの居心地悪さ。アタマでは分かっても、腹に落ちない「だまされているような感覚」がつきまとう。例えば、

　「1= 0.999…」について、ありがちな説明として、

　　　1 = 1

　両辺を3で割る。左辺は分数、右辺は小数で表現すると、

　　　1/3 = 0.333…

　両辺に3をかけると、

　　　1 = 0.999…

　聞き手の「おっさん」は、これがうさんくさい、という。

　つまり、0.9999999999999999999…とどんなに1に近づいても、1にはならないのならイコールじゃない、と言い張る。このツッコミは新鮮。わたしなんて、疑問にも思わず（したがって理解もせず）「こんなものだ」と覚えてしまっていたから。それをしつこく解説する。

　「1= 0.999…」について、もうひとつの説明として、

　　　S = 0.999…　　　とする

　両辺を10倍すると、

　　　10S = 9.999…

　両辺からSを引くと、

　　　10S - S = 9.999… - 0.999…　　　　←※

　　　9S = 9

　両辺を9で割ると、

　　　S = 1

　最初に「S = 0.999…」としたので、

　　　1 = 0.999…

　「おっさん」はそれでもおかしいという「無限というのは、…がずっとくり返される、終わりなく続くもの。これを"S"という、あたかも一つの記号に置き換えられるのが不自然だ」と抵抗する。わたしにとって、※の計算が居心地悪い。アタマでは分かるが、計算しつくせないものを終わらせているから。

　　　　9.9999999999999999999…
　－）　0.9999999999999999999…
　―――――――――――――――
　　　　9

　そんな「おっさん」を相手に無限のレッスンが続く。萌え（?）を意識したのか、妙齢の美人教授を登場させ、コスプレや奇矯な言動をさせたり、読み手を飽きさせない工夫が随所にある。

　オイラーの計算も面白い。以下の計算を無限に行ったらいくつになるか？

　　　1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) …

　こいつを、Sで置き換えると、

　　　S = 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) …

　　　S = 1 - { 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) …}

　　　S = 1 - S

　　　2S = 1

　　　S=1/2

　しかし、Sは

　　　1 = 1

　　　0 = 1 + ( - 1 )

　　　1 = 1 + ( - 1 ) + 1

　　　0 = 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 )

　　　1 = 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1

　　　…

　と、どんなに足していっても、0か1の間のどちらかの値をとるだけで、無限に続けても1/2にはならない。オイラーの計算とコーシー列の解説から、数とは何か、という本質的な理解が得られる。

　面白がって背理法や集合論のレッスンに付いていくと、「ラッセルのパラドックス」が突きつけられる。「集合の集合」にヤられる。偽命題として「1=0」が証明されてしまう（そして、理解できる）。わたしの理解していた数学がウソだと証明されたようで、自分の正気を真剣に疑う。

　あるいは、コーシー列の解説の際、「おっさんが」が数直線上の1を疑い始める。

「うーん、1に無限に近づくことはできるんやけど、ぴったり合うところがあらへんのちゃうか、ゆう不安ゆうか、恐怖ゆうか。近づいても近づいても絶対そこへはたどりつかへん、ゆうかな。」
「そうそう、そういう感覚なんです。自分の頭で思っている数直線と、現実の数直線が、よくよく調べてみるとズレてるんじゃないか、という不安感があるんですよね」

　そう、わたしも。数学ってもっと確固としたものだと思っていた感覚がゆらぎはじめる。このめまい、酩酊感は、ちょっとこわい。

　数学を暗記科目だと割り切るようになったのは、虚数から。虚数は数直線上にプロットできないと説明されて、嘘くさい数だとヘソ曲げたのがきっかけ。「数ではないのに数学とはこれいかに」なんてセンセに問答をふっかけたり。

　おかげで「青チャート」+「大学への数学」だけで終わったつもりでいた。たしかに点は取れたけど、非常にもったいないことをした。実在無限で済ませていたのが、可能無限に気づいてしまったというべきか。

　で、肝心の9章。残念ながら、不完全性定理は理解できなかった。8章までと異なり、たとえ話だらけとなっている。「たとえ話」で伝えたいことは薄ら分かるのだが、理解できない。だから、「そもそも自己言及のパラドクスじゃぁねぇの? ラッセルがダメでゲーデルがセーフなのはなぜ?」という疑問が出てくる。精進が足りん。

　分かるところだけつまみ食い的に読んでも、かなり酔える。さて、こんな調子でGEBまで行けるか!?

1章　無限は本当に存在するのか？
　1.1　大きな数を言う勝負は後手必勝？
　1.2　宇宙の果てはどうなっているの？
　1.3　アキレスは亀に追いつけない？
　1.4　有限の人間が無限を扱えるのか？
　1.5　無限の足し算は終わるのか？

2章　数とは何か？
　2.1　コーシー列って何ですか？

3章　無限には二つの種類がある
　3.1　可能無限とは何か？
　3.2　実在無限とは何か？

4章　無限の大小の調べ方
　4.1　無限はどうやって数えるのか？
　4.2　ベルンシュタインの定理って何ですか？
　4.3　大小関係にはどんな可能性があるか？
　4.4　対角線論法とは何か？
　4.5　どんな無限よりも大きい無限はあるのか？

5章　パラドックスとは何か？
　5.1　自己言及と矛盾の関係とは？
　5.2　存在そのものが矛盾する？

6章　ヒルベルトさんの無限的センス
　6.1　「20世紀に解かれるべき23の問題」とは？

7章　公理なくして数学なし
　7.1　点と点を線で結べることは証明できますか？
　7.2　三角形の内角の和は2直角なのか？

8章　ヒルベルトさんの夢
　8.1　公理の意味をすり替えた犯人はだれだ？
　8.2　椅子PQはビールジョッキRを通らない？
　8.3　無限を使っても数学は変にならないのか？

9章　ゲーデル不完全定理の誕生
　9.1　数学の公理系ってどんなもの？
　9.2　命題「私には証明がない」って正しいんですか？
　9.3　ヒルベルトさんの夢は砕かれてしまうのか？

10章　ゲーデル以降の無限
　10.1　永遠に解けない問いがあるのか？
　10.2　バナッハ・タルスキの嘘のような定理は本当なの？
　10.3　いつになったら終わるの？

おまけ　魔法のキャンデー
　無限か0か？
　地球人と火星人のための公理って？

　この本は、Ｇ★ＲＤＩＡＳの「無限のキャンディーに隠された秘密」がきっかけ。良い本を教えていただき、kanjinaiさんに大感謝。リンク先のアリスと手品師のキャンデーの問題が面白い。本書を手にする前に、トライしてみてはいかが?