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『数学の認知科学』はスゴ本

 人の思考のうち、最も抽象的で厳密なものは数学にある。だから、過去から現在に至るまでの人類の思考のマップがあるとするなら、その全体像の輪郭は、数学によって形作られている。つまり、数学を調べることで人の思考の構造と限界が分かる。

 一方、数学は具体的なところから始まる。「数を数える」なんてまさにそうで、10進数が一般的な理由は、10本の指で数えたから。xy座標でy軸が量、x軸が時空的な変化に結び付けられるのは、重力により増えるモノは積み上がり、移動するものは横方向だから。指は10進数の、デカルト座標は時空間のメタファーであり、数学を調べることで思考の身体的な拠り所が明らかになる。

 数学そのものは抽象的で厳密だが、これを理解する人は具体的で経験的な存在だ。『数学の認知科学』は、「人は数学をどのように理解しているか?」をテーマに掲げ、この具体と抽象のあいだを認知科学のアプローチで説明する。著者はジョージ・レイコフ、言語活動のみならず思考や行動にいたるまで、人の営みのあらゆるところにメタファーは浸透しているという名著『レトリックと人生』が有名だ。

 『数学の認知科学』を一言でいうなら、「人はメタファーを通じて数学を理解する」になる。人の抱く抽象概念は、感覚-運動経験から推論様式(すなわちメタファー)を用いて取り込んでおり、数学の厳密さの領域の外にある「人の抱く数学的概念」は、このメタファーを調べることで明らかになると仮説立てる。そして、数学自身では明確にできない「数学的概念の本質」に迫る。「数学の説明」ではなく、「数学の理解の説明」なのだ。具体と抽象、感覚と公理のあいだこそが本書のキモであり、ぞくぞくするほど面白い。

 なぜなら、いままで感じてきた、数学に騙されているような感覚が明らかになっているから。数学の「正しさ」について、ずっと抱いてきた疑問がどこにあるのか分かったから。例えば、無限の話に出てくるこれ。

 0.999…… = 1  ――― 式1

 左辺は小数点以下、ずっと9が並んでおり、尽きることはない。これと1が等しいことに、「正しさ」を感じられない。もちろん表面上は分かっているフリをすることはできる。

 0.333…… = 1/3  ――― 式2

 式2は「正しい」。そして式2の両辺に3を掛けると式1が成立するから「正しい」と自分を納得させることもできる。しかし、ずっと続く左辺と、値が確定した右辺を、等式で結ぶことそのものに違和感がある。0.999... が1に限りなく近づくことを示すなら「=」ではなく「→」じゃないのかと考えていた。

 あるいは、導関数にしても然り。xがaからbまで変化するときの関数y=f(x)の平均変化率を求め、この平均変化率においてbを限りなくaに近づけた値が式3になる。

 f′(a)=lim(b→a) f(b)-f(a)/b-a ――― 式3

 図形的には点A(a,f(a))と点B(b,f(b))があり、点Bが点Aに限りなく近づくとき、点Aにおける接線に近づき、最終的に関数y=f(x)の点Aにおける接線の傾きになるという説明だ。

 しかし、点Aにおける接線の傾きということは、点Bは点Aと一致しており、すなわち「b=a」のため、式3はゼロで割っていることになる。ゼロ除算を回避するため「b=a」ではなく、(限りなく近づくという意味で)「b→a」と表現する一方で「0.999…=1」と記述する。どちらかを「正しい」とするならば、もう一方は「正しくない」ことになる。

 「それ定義の話だから」←知ってる。正しさを完結させる一連のロジックにおいて、その前提のところで頭を抱えても仕方がない。中学高校は「数学は暗記科目」と割り切って駆け抜けたけれど、やり直してみればみるほど、わたしの頭の悪さ加減に慄然とする。大きさを持たない「点」が数直線を「埋め尽くす」ことなんて可能なのかとか、数の本質は countable なものか、それとも measurable なのかなど、知れば知るほど定義以前のところで分からなくなっていた。

 もちろんこの悩み、わたしが人類初ではない。本書では、デデキントの切断を介した実数の概念や、ニュートンやライプニッツの流率(導関数)の計算法を紹介しながら、ここに無限のメタファーが用いられていると指摘する。すなわち、際限なく進行し続けるプロセスが、終わりと究極的な結果を持つプロセスとして概念化されたメタファーだとする。

 人は未知のものを既知のもので理解する。「同じもの」を見わけて、集まりをいくつか「数え」、集まりの大小を見わけたり、その最小単位(1)を判別する概念は、人は生まれながらにして持っている。味覚や視覚のような数学的感覚「数覚」についてはスタニスラス・ドゥアンヌ『数覚とは何か』が詳しい。「1」の1らしさ、「2」の2らしさ、そして「3」の3らしさは、実際に数えることなく計算できる認知的量だという。そして生得的な感覚として、数字や文字の視覚的認知が頭頂・側頭領域に特殊化されているという。数覚はかなり生臭い、アナログ的なものであることが解説されている。

 この、数学以前の身体的で直観的なメタファーをブレンドしながら、数論、集合論、代数学、幾何学、微積分など、数理哲学の奥深いところまで潜る。そこで説明されるのは、それぞれの分野の数学的な解説ではなく、たとえば集合論なら「集合論をどうやって理解されるのか」という正しさのメカニズムなのだ。定義以前の「分かり」から出発した、認知メカニズムだといっていい。

 最終的にはオイラーの式「eπi=-1」を、概念メタファーを用いて説明する。「ネイピア数をπi乗するとはどういうことか」という壁で力尽きていたわたしは、全く異なるアプローチでその壁を迂回することができ、ほとんど感動に近いものを得られた(ただし、分かった気になっているだけなので『オイラーの贈物』で学びなおすつもり)。

 恥を忍んで告白すると、この概念メタファーからのアプローチで、イコール(=)の多義性に気づかされた。数学に騙された感があるのは、等式に(暗黙裡に)含まれる様々な意味に翻弄されていたことに、ようやく気付いたのだ。例えばこうだ。

 3 + 5 = 8 ――― 式4

 8 = 5 + 3 ――― 式5

 3 + 5 = 4 + 4 ――― 式6

 簡単な等式だが、式4は3に5を加えた結果「生じる」ことを示し、式5は左辺は右辺に「分解できる」(積なら因数分解できる)ことを示し、式6は左辺と右辺が「同値結果となる」ことを示す。連立方程式なら、これを解くことで「得る」という意味を持ち、対数式なら「対応づける」になる。結果、状況、対応など、数学的文脈によって「=」は様々な意味を持つ。わたしは計算結果を示すもののように捉えていた(対数の件で混乱したことがあったが、「同値」と「対応づけ」を取り違えたせいだと考える)。

 たとえば「0=φ」と定義した瞬間に、概念上の多義性は発生しているのだが、それでも混乱せずに数学者が自分の数学に没頭できるのは「定義の話だから」だけではなく、そこにメタファーが作用しているのを直感的に理解しているからではないかという指摘は鋭い。「0」は決して「φ」ではないし、そう「約束ごと」しているだけでなく、「空っぽの器」というメタファーが背後にあるからこそ「=」でつなげることができるのだ。

 かつて、数学の「正しさ」について大いなる欺瞞を抱いていた。

 もちろん数学は「正しい」。だが、そこにおける「正しさ」とは予め決められた定義や公理の組み合わせから外れていないこと、(もしくは新たな概念を導入する場合)元の体系との整合性がとれていることになる。この世界にいる限り、その「正しさ」は疑いようもない。だが、この世界を知らない人は、どうやってその「正しさ」を理解するのだろうか……そんな疑問を抱きながら加藤文元『数学の想像力』を読んだ。

 そこでの結論は、数学の正しさの「規準」は明快だが、正しさの「根拠」は極めて非自明だという。そもそも「正しさ」に根拠などというものがあるのか? この疑問への明快な解には至らないにせよ、そこへのアプローチにより、数学の「正しさ」が少しも自明ではないこと、そしてその非自明性が数学を柔軟性に富んだものにしている―――そして、この「非自明性」を説明づけているものこそが、『数学の認知科学』でいう概念メタファーになる。

 『数学の認知科学』のおかげで、これまで読んできた数理哲学のピースが埋まっていくと同時に、数学の素晴らしさは人の思考の素晴らしさにそのままつながっていることに気づかされた。数学に対し、普遍的・絶対的なプラトニズムを勝手に投影していたが、むしろ人の身体と脳、認知的能力、そして日常生活と文化を基礎としていることが分かった。

 数学は、人の思考がもつ美しさ、豊富さ、複雑さ、広範さ、重要さの壮大な実例であり、わたしは概念メタファーを使って、いつでもそこへアクセスすることができるのだ。

 「数学がやってきたところ」から思考の本質に迫るスゴ本。

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