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美は、見る人のなかにある『美しい幾何学』

美しい幾何学 これを紹介するのは、とても簡単で、すごく難しい。

 というのも、簡単なのは、これは「見る数学」だから。ただ眺めているだけで、その美しさが伝わってくるから。教科書ならモノクロで印刷される定理や図形を、鮮やかなモダンアートにして魅せてくれるから。オイラー線やサイクロイド、シュタイナーの円鎖など、単体でも美しいフォルムをカラフルにリデザインしており、ページを繰るだけで楽しくなる。ひまわりやオウムガイの螺旋に見られる、形のなす必然に心が奪われるだろう(たとえフィボナッチ数の話を知っていたとしても)。

 同時にこれは、「知る数学」でもある。だから、伝えるのは難しい。直感だけで受け取った美には、そのパターンを支えるシンプルな定理が存在し、かつそれは、なるべくしてそうなっていることに気づかされる。この必然性を知るためには、やはり定理を解き、式を理解する必要がでてくる。編集方針なのだろう、数式を控えめに、なるべく「見て分かる」ようにしている。この、簡潔だけど丁寧に解説する知的態度を伝えるのが難しい。

 さらに、中学で習った三平方の定理のすぐ脇に、奥深い無限の世界が口を開けていることも、見える化されている。もちろん無限は描き尽くせない。だが、どっちへ進むとそうなるかは、描ける。有理数とイコールで結ばれた(完結した)世界から、いきなり果てのない深淵の扉が開くのは、実はとっても怖いことなんだと、あらためて教えられる。アルキメデス学派がタブー扱いするのも分かる。量を測るための数学が、量をなくしてしまうことになるから。頭で分かってはいても、見えるようにするとゾッとなる。

 たとえば、表紙のシェルピンスキーの三角形だ。こんなプロセスで出来上がる、フラクタルな無限である。

 1. 正三角形を描く
 2. 正三角形の各辺の中点を結んだ正三角形を描く
 3. 中央の正三角形を取り除く
 4. 上記2.と3.を繰り返す

 最初の三角形の面積を1とすると、次の3つの三角形のそれぞれでは、面積が1/4で、全部を合わせた面積は、3*(1/4)=3/4になる。次のステップで9個の黒い三角形の面積は1/16で、総面積は9*(1/16)=(3/4)^2となる。これを続けていくと、残った部分の面積は、数列1,3/4,(3/4)^2,(3/4)^3...となり、公比3/4の等比数列となる。

 公比は1未満のため、数列の項は、n→∞のときに0に限りなく近づく。そのため、最終的には元の三角形は、各段階で黒い領域の1/4だけを取り除いたにもかかわらず、消えてしまうことになる。表紙のシェルピンスキーの三角形は、わずか6ステップしか踏んでいないのに、既に完璧な"篩"になっている。面積という、見える有限の「量」が無限のステップの中で消えてしまう不思議。

 その一方で、三角形の周長は、一辺1とすると、3,9/2,27/4,81/8...となる。これは公比3/2の等比数列で、公比は1より大きいので、より多くの三角形を取り除くにつれて、項は際限なく大きくなり、周長は無限に大きくなってゆく……面積がゼロに限りなく近づく一方、無限の長さをもっている! ありふれた三角形から、この世のものではない無限を導き出し、それを見せてくれる。プロセスとして無限の扱い方は知ってはいるが、実感となると慄く(いまだに、アレフとかいう一つの記号で無限を表すことに違和感がある。いまだに、永遠に数え上げるプロセスを、あたかも数え終わったかのように記号で扱い、等号で結ぶことに違和感がある)。

数学で生命の謎を解く 「見る数学」に無限の深淵を見せる一方で、数学の美を絶対視していないところもいい。たとえば、このテの話にありがちな、「なんでもかんでも黄金比」に堕していないところ。黄金比の素晴らしさに"洗脳"されて、全ての中に探そうとする態度を戒める。自然界の生物から始まって、パルテノン神殿などの建築物、ダ・ヴィンチのスケッチ、果てはクレジットカードの縦横まで、なんでも黄金比で解決しようと/取捨選択しようとする人がいる。イアン・スチュアートの名著『数学で生命の謎を解く』[レビュー]によると、これは都市伝説になる。統計手法を望むデータ周りに集中させることで、強引に当てはめることが可能になるという。現代の数秘術だね。

数学は美しいか シンプルなかたちの中に、奥深い原理を知る。パターン・数・形と遊びながら原理を知ることで、自分のなかで美が再構成されるのが分かる。美しいものは、見える人のなかにあることが分かるのだ。以前、「数学は美しいか」という特集した雑誌を手にしたことがある。『美しい幾何学』は、この挑戦的なタイトルへの一つの見事な応答だろう。

 数学は美しい、だがその美は、見る人のなかにある。


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医学は科学じゃないんだよ『医学と仮説』

医学と仮説 おもしろい。ツッコミどころはあるが、究極原因にこだわる科学と、因果と相関に注目する医学の違いか。

 タバコと肺がん、O-157や水俣病の事例を元に、医学的根拠とな何かを考えさせる一冊。同時に、パンデミックSFによくある、「パニックを避けるという口実で、責任のがれのため公表を伏せる政府」の構造的欠陥が放置されていることも、よく分かる。フィクションではない、かつて起きたことで、これからも大いにありうる未来が見える。

 著者が攻撃するのは、要素還元主義だ。いわゆる、「分ければ分かる」というやつ。原因物質を究明し、人体へ影響するメカニズムが解明できる/すべしという立場に、真っ向から勝負する。そして、要素還元主義はしばしば、科学の名において悪用されていると説く。

 たとえば、タバコと肺がんの関係。因果関係についてはアメリカ政府の報告書"Smoking and Health (1964)"で証明されているにもかかわらず、タバコ会社は「メカニズムがまだ証明されていない」という理由で認めてこなかった。タバコにある特定物質が、どのように肺がんを引き起こしているのか解明されない限り、因果関係は認められないという確信犯的な悪用事例だという。

 あるいは、要素還元主義にこだわらなければ、水俣病はこれほど悲惨な事態には陥らなかったという。水俣湾の魚介類が原因であることは当初から分かっていたにもかかわらず、規制が遅れたことが被害を拡大したのだ。食品衛生法に基づき、保健所長の判断で禁止すればよかたものを、厚生省に問い合わせる。

 その回答が奮っている。すなわち、原因不明の疾患を発症するから摂食させるなと指導する一方で、全ての魚介類が有毒化している明らかな根拠が認められないので、食品衛生法を適用できないというのだ。「全ての魚介類が有毒化している明らかな根拠」、つまり要素還元主義的な汚染物質の存在証明を想定しているため、対策が後手に回る。

 当時の政府の無能を嘲笑うことはできない。今でも起こりうる人災だ。仮に、ある疾患が多発した場合、すぐさま調査することは、現行の法律ではできないという。

 食品衛生法
 薬事法
 労働安全衛生法
 感染症の予防および感染症の患者に対する医療に関する法律
 地域保健法
 毒物および劇物取締法

など、疾患の多発にへの調査に触れた法律や条文はあるが、上記の法律のうち、どれに該当するのかが事前に分からないと適用できない、という問題が残る。つまり、アウトブレイクが実際に起きた場合、「原因は分からないが、とりあえず調査する、必要に応じ強制力を発動する」といった初動に該当する根拠となる法律が、どこにもないのだ。

 かくして「パニックを避けるため、公表を伏せる」とか、「上は知らなかったことにして、現場に責任を押し付ける」といった、三流パニック映画にありがちな下地ができあがる。くりかえす、これはフィクションではないんだ。劇的で分かりやすい、ヒ素ミルクや水銀汚染ではなく、長期にわたる放射線障害といった形でお目に掛かるだろう。その時の逃げ口上は今から当てられる。「直接的な因果関係となる汚染物質を検出することができなかった」とか、「原告が被爆するメカニズムが明らかになっていない」だね。

 要素還元主義の科学へのボヤキとして「医学は科学じゃないんだよ」の一言が著者に刺さっているのはよく分かる。だが、観察と調査による経験則を至上として、やみくもに実験を批判するのはどうかと。著者自身が戒める「相関関係と因果関係のとりちがい」を解消するために、実験による論理的な因果関係の証明がある。「統計学は科学の文法」という重要性は認めるが、そもそも統計データを得る際のバイアスを除くための論理的な裏付け───すなわち、著者の嫌がる要素還元的な説明───は避けて通れないはず。

 「科学的とは何か」を事例でもって考える、格闘するにうってつけの一冊。

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