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3週間でやりなおす「高校数学の教科書」

 習うより慣れろ、学ぶより真似ろ。

 やりなおし数学シリーズ。いつもと違うアタマの部分をカッカさせながら、3週間で一気通貫したぞ。もとは小飼弾さんへの質問「数学をやりなおす最適のテキストは?」から始まる。打てば響くように、吉田武「オイラーの贈物」が返ってくる……が、これには幾度も挫折しているので、「も少し入りやすいものを」リクエストしたら、これになった。

高校数学の教科書1高校数学の教科書2

 本書の特徴は、「つながり」。アラカルト方式を改め、高校数学の体系を一本化しているという。なるほど、上巻の「数と式」の和と差の積の形に半ば強引に持ち込むテクは、下巻の積分の展開でガンガン使うし、図形と関数はベクトルと行列の基礎訓練だったことに気づかされる。ベクトルが行列に、行列が確率行列に、さらに行列がθの回転運動や相似変換に「つながっている」ことが「分かった」とき、目の前がばばばーーーっと広がり、強制覚醒させられる。

 上巻
    1章 数と式
    2章 方程式・不等式と論理
    3章 平面図形と関数
    4章 順列・組合せと確率
    5章 指数・対数と数列
    6章 三角関数と複素数平面
 下巻
    7章 ベクトル・行列と図形
    8章 極限
    9章 微分とその応用
    10章 積分とその応用
    11章 確率分布と統計

 高校ンときと明らかに違うのは、テストするのは、自分であること、期限がないこと。期末試験も受験もない(そういや、「数学=テスト」という構図から、ついに逃れられなかったなぁ、高校時代)。好きなだけしがみついてもいいし、早々とあきらめてもいいわけだ。おかげで、全体のなかの部分として学びなおすことができた。要するに、高校数学とは微積分なんやね。

 概念やテクニックの集大成として微積分に収斂されていく全体像が見えてくる(確率・統計という例外もあるけど)。微積分を理解するために極限があって、それを支えるアプローチや、同じ本質の別のふるまいとしてのベクトルや行列、三角関数や対数が説明される。それらの理解の基礎として、図形や関数、方程式や論理が準備されている。逆順に話したが、数学という道具を使いこなす段階を考慮した章立てだね。

 最初は扱いやすい「こんぼう」から始まって、慣れてくると「はがねのつるぎ」、体力をつけて「バトルアックス」、技を重視して「レイピア」、熟練を重ねて「エクスカリバー」を使えるようになる……そうした過程をトレースするような3週間だった。

 同時に、かつての強迫観念(?)「数学は役に立たない」を木っ端微塵にしてくれる。たとえば、対数の学習で複利計算をするんだが、「ヤミ金融でトイチで『1円』借りたら」で爆笑した。トイチ(10日で1割、複利)で1円借りて、10年間返済しなかった場合、元利合計は1000兆円を超える。1年を365日とすると、10年は3650日である。10年後の元利合計は、10日ごとに1.1倍だから、3650/10で365となるから、

  1×(1.1)^365(円)

  x=(1.1)^365 をとると
  logx=log(1.1)^365 
   =365log1.1
   =365×0.04139   常用対数表よりlog1.1=0.04139
  =15.10735

したがって、

  x>10^15=1000兆

となる。

 その前に救済法が発動するんじゃないの? というツッコミはともかく、この計算ができない(理解できない)人がいることは事実だし、その人を食い物にして肥える人がいることも事実。理解できない人を気の毒に思うのか、肥える人を非難するのか、反応が割れるところだが、少なくともわが子にはちゃんと仕込んでおこう。

 また、方程式や不等式と図形の関係から、「線形計画法」につなげる手腕は、鮮やかさと懐かしさがない混ぜになる。複数の材料を仕入れ、最も高い利益をたたき出す製品を作るには、何をどれだけ作ればいい? といったコンサルタントが喜びそうな問題が並んでいる。そういや、マッキンな人が武器のように振り回してたなぁと遠い目になる。本当に使えるかどうかの分かれ目は、

   1. 変数を何にするか
   2. 条件式をどう設定するか

による。言い換えると、ここをいじれば、欲しい結論に誘導する説得材料を得られる。確かに数学は仕事に不可欠だけれど、「数式にもっていく」前段で勝負ついているのが、ビジネスの現場なのかも。同じ理屈で経済学の乗数理論や、株式投資のポートフォリオ、標準偏差も解説されるが、あくまで数式として、道具として学びなおす。数式に意志を抱かせるのは、人の役割なのだ。

 著者のスタンスとして素晴らしいのは、「説明」を主としているところ。やり方を覚えて答えだけ導けばよい、という受験対策ではなく、自分で組み立てられることが大切だと説く。かつて暗記数学でしのいだわたしにの耳が痛い痛い。

 高校数学を通して、ストラテジー(発見的問題解決法)を身につけろという。個々の問題に対するテクニックとは異なるものだ。何らかの発想上の工夫を見つけないと解けない問題を解決するための手段を、いくつかの型に一般化しなさいというのだ。

 昔ならチャート式、今ならデザインパターンだろうか。「~が分かるためには、……が分かればよい」という推論をいくつかくり返す「逆向きにたどる」方法や、問題を特殊な状況に落とし込むことによって解決しようとする「特殊化」、既知の解決法を新たな問題にあてはめようとする「類推」といった手法が、演習で解説される。車の運転やビジネスプロセスと一緒で、実際に動かして身につける能力やね。

 取り組み方について。ちびちびやると挫折するので、キアイを入れて「通しで」やることを心がけた。演習の難度は青チャートぐらい。しかし、「ウォリスの公式」や「シュワルツの不等式」など、とうてい歯が立たないものも平気で展開してくる。嬉しい(?)ことに、「難しかったら、○ページまで飛ばしてよろしい」とささやいてくれる。ありがたく飛ばさせてもらう。目的は通し稽古なので、拘泥しないようとにかく進め、進めのノリで行く。

 面白いことに、高校のときと同じ所でつまづいている。ベクトルの和や差はベクトルなのに、積が「量」なのは何故かとか、操作としては理解できるが、腹の底から納得しきれない微積分など、同じ部分で壁にぶつかる(というか思い出す)。要するに、のびしろは自分自身なんだね。

 これで、いつでも戻れるベースができた。「高校数学の教科書」をもとに、次は「オイラーの贈物」に進もう。「数学ガール」の再読がもっと楽しくなるぞ。小飼弾さん、いい道しるべを示していただき、ありがとうございます。


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子どもをダシにオトナが遊ぶ「子どもが体験するべき50の危険なこと」

 突然だが、掃除機オナニーというものをご存知だろうか。

子どもが体験するべき50の危険なこと T型ヘッドを取り外した吸込み口に突っ込んで、スイッチオンして、激しい震動に身を任せるという、非常に危険な行為だ。吸込み口は、ほぼ詰まった状態になる。そのわずかな隙間をムリヤリ空気が通ろうとするとき発生する気流が、すさまじい勢いで"揺さぶる"のだ。大きすぎて入らない御仁は蛇腹でやるとよろしいって開高健が言ってた。快楽とは摩擦ではなく震動である、これに気づくと世界が変わる。

 「子どもが体験するべき50の危険なこと」は、もちろんそんな提案はしない。だが、「電気掃除機で遊ぼう」の件で懐かしく思い出した。ここでは、吸込み口に大きなビンを近づけて音を出したり、細長い紙を吸い込ませて震動させたりする「実験」を紹介する。キチンと危険性を掲げ、「目が見えなくなる」(要するに、目玉が吸い込まれる)リスクも説明する。

掃除機のホースを絶対に顔に近づけないこと。衛生的でないうえに、強力な吸う力が目などに重大な危険を及ぼす。
冷静になって考えると、確かにあそこはキレイなものではないね……

 タイトルから連想する「危険」な本ではない。むしろ、危険とは何か、なぜ危険なのかを安全に体験させようという趣旨で書かれている。イマドキの子どもは、「あれをするな」とか「入っちゃダメ」とか、制限事項が多すぎる。がんじがらめのリミッターをカットするための提案本としても使える。

 さっそく試したのが、「電池をなめてみよう」。味蕾に直接刺激を与え、どう感じるかを言葉にするという実験だ。こわごわやってみたものの―――結果は「冷たい味がする」だって。電池の冷たさなのか、電気の刺激なのかは分からないが、興味深い。

 次は、「車を運転しよう」。わたしのヒザの上に乗せてハンドルを握らせる。「ハンドルを回す」という感覚と、タイヤが向きを変える感覚がダイレクトに伝わってきて楽しいらしい。早くオトナになってほしいような、まだ子どものままでいてほしいような、不思議な思いに包まれる。

 「ドライアイスで遊ぼう」や「太陽を見よう」や経験済みなので、「火遊び」か「野宿」がしたいなぁ……嫁さんに叱られながら、「次はどれにする?」とイタズラ顔を見合わせる。これ、子どもをダシにオトナが遊ぶ本なのかもしれないね。

  1. 9ボルト電池をなめてみよう - 電気の味見をする。
  2. あられの中で遊ぼう - 母なる自然に身をさらす。
  3. 完ぺきなでんぐり返しを決めよう - 学校で禁止される前にマスターする。
  4. フランス人のようにキスであいさつしよう - Faire la bise.(キスしましょ)
  5. 車の窓から手を出してみよう - 鳥のように空気を感じる。
  6. 釘を打とう - ハンマーでものをたたく技術をマスターする。
  7. 車を運転しよう - 1トンの鉄の塊を動かす。
  8. やりを投げよう - 本能を目覚めさせる。
  9. ポリ袋爆弾を作ろう - 何かを爆発させる。
  10. 電気掃除機で遊ぼう - 掃除が楽しくなる。
  11. 石を投げよう - 原始人になる。
  12. ドライアイスで遊ぼう - すごく冷たい世界。
  13. 紙コップでお湯をわかそう - 相容れない要素の出会うところ。
  14. 電子レンジに変なものを入れてみよう - お台所の電磁場で実験する。
  15. 走っている車から物を投げよう - スピードと重力と空気の抵抗で遊ぶ。
  16. 高いところから落ちてみよう - 五点着地法を身につける。
  17. 虫めがねで物を燃やそう - 太陽の強力な光をあやつる。
  18. ひとりで歩いて帰ろう - 自由行動の子どもになる。
  19. 屋根の上に立とう - そこに屋根があるからだ。
  20. ノコギリを使おう - ノコギリで木材を切る技術をマスターする。
  21. 目かくしで1時間すごそう - 目を使わないで世界を見る。
  22. 鉄を曲げよう - 火の力で金属を変化させる。
  23. ガラスビンを割ろう - 自分のカラをやぶる。
  24. 空飛ぶマシンを作ろう - ヘアードライヤーで気球を飛ばす。
  25. 太陽を見よう - 明るすぎて見えないものを見る。
  26. かっこいい殺陣を学ぼう - 映画や舞台の隠された技。
  27. パチンコを作ろう - 原始的な道具を自分で作る。
  28. 木登りしよう - 親指に本来の仕事をさせる。
  29. パフォーマンスに挑戦しよう - 楽しんでお金もうけ。
  30. 小川をせきとめよう - 歴史の流れを変える(少しの間だけ)。
  31. 地下にもぐろう - 地下世界を探検する。
  32. タイヤを交換しよう - 自分で車を整備できる大人になる。
  33. ゴミ箱に飛び込もう - 埋められてしまう前に使えそうなものをひろう。
  34. 家電品を分解しよう - 隠された秘密をあばく。
  35. ゴミの埋め立て地を見に行こう - ゴミ収集車を追いかけて、ゴミの行方を捜す。
  36. 友だちに毒を食べさせよう - しょっぱいクッキーでね。
  37. 強風の中で手作り凧をあげよう - 強さと感覚の限界をテストする。
  38. つなわたりをマスターしよう - バランス感覚を磨く。
  39. 食洗機で料理をしよう - 機械の隠れた才能を使う。
  40. ミツバチの巣を見つけよう - 毒を持つ生物との接近遭遇。
  41. 公共の乗り物で街を横断しよう - 世界のナビゲーターになる。
  42. レシピ本にさからおう - 自分だけの焼き菓子を作る。
  43. ナイフで削ろう - ナイフを使って木を削る方法を学ぶ。
  44. ロープスイングで遊ぼう - 自分で作ったものに命をあずける。
  45. 火遊びをしよう - 自然界でもっともおそろしい力をあやつる。
  46. 指を瞬間接着剤でくっつけよう - 指が使えない生活を体験する。
  47. ガラスを溶かそう - 火をすごく高温にする。
  48. 冷凍庫でビンを破裂させよう - スローモーションで見る。
  49. 野宿をしよう - 暗闇の恐怖に打ち勝とう。
  50. なにかしよう - 自分で活動を考えて、書いてみよう。


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努力の最適化「上達の技術」

 正しい努力の仕方。

上達の技術 伸び悩むアスリートや、受験勉強に苦労してる方には福音となるかも…あるいは「知ってたよ!」とウソブくかも。上達上手とは無駄な努力をしないこと。漫然と練習を重ねたり、やみくもにひたすらにガンバルだけでは、決して「最高の自分」にたどり着くことはない―――著者は警告する。むしろ、"時間"という貴重な資源のムダになりかねないという。だから、上達のルールにのっとった「正しい努力」をするべきなんだって。

 では、「正しい努力」「上達のルール」とは何か。以下の8章で応える。

  第1章 最高の実力をだす技術
  第2章 結果をだせる練習の技術
  第3章 勝負強くなる技術
  第4章 集中力を高める技術
  第5章 記憶の達人になる技術
  第6章 高いやる気を発揮する技術
  第7章 打たれ強くなる技術
  第8章 創造性を発揮する技術

 例えば第2章の「結果をだせる練習の技術」に、「分習法」と「全習法」が紹介される。運動課題を部分に分けて、順番に分けて練習をするのが「分習法」で、それぞれを結合して行うのが「全習法」だという。スゥイング練習が相当しそうやね。最初は分習法で、技能水準が上がるごとに全習法にしていくのがセオリーだそうな。なぜなら、練習のテーマを決めて、一つ一つクリアしていくことで上達効率が上がり、さらにモチベーションが高められるから。

 また、第3章の「勝負強くなる技術」に、反復練習のメリットが紹介されている。それは、「技の再現性」「技の省エネ」になる。まず、反復練習の究極の目的は、最高のプレーを高い確率で再現できるようになることだという。そして、むだな体力を使わなくなるというメリットがついてくる。反復練習により、より少ない酸素や消費エネルギーでやれるようになる。つまり、同じ結果を"ラクに"出せるようになるのだ。

 さいきん空手を始めたのだが、確かにこのセオリーに沿って効果を上げているね。構えからの突きや受けを個々に分解し、集中的に反復練習する。一つの動作に習熟すると、組み合わせる。ステップを登るように上達していくと、一連の動作が流れるように実感できる。おまけで、同じ型を反復していくうちに疲れなくなってきているのが分かる。無駄な力を使わずに、同じ突きや受けができるようになる―――これが「型」の目的だね。

 また、アフォーダンス理論が紹介されてて興味深い。人は、「感覚されたものが脳で情報処理されて運動を制御するシステム」ではなく、「与えられた環境に則した選択的システム」で生きているのだという。つまり、状況に応じた最適なプログラムを、そのつど脳が作り出しているのではなく、蓄積されているプログラムから、状況に適したものを選んでいるのだと。テニスで瞬時に体の動きをコントロールしてナイスショットを打つことは、「事前に知っていない限り」不可能だろう。文字どおり、「体が知っている」やね。

上達の技術 伸び悩み現象についても考察されている。練習期間(回数)に応じて、学習量(成績)が右肩上がりに伸びていくが、ある一定の時期になると進歩が鈍ることがある。いわゆる伸び悩みで、プラトー(高原)と呼ばれることは知っていた。これは名著「達人のサイエンス」[レビュー]で教わったことだが、たとえ上達が具体的な形で現れていないときでもあなたは上達しているという一言に、どれだけ勇気付けられることだろう。

 伸び悩みを打ち破るために、目標を正しく設定することが大切だという。よい目標は「自己ベストを更新」になり、よくない目標は「○○大会で一位」になる。なぜなら、自分のベストはコントロールできるが、他の選手はコントロールできないから。そこでイチローの至言を思い出す。

  1. 自分にコントロールできることとできないことを分ける
  2. コントロールできないことについては関心を持たない
  3. そして、自分にコントロールできることだけに集中する
 本書の著者は、イチローの思考を本にしているくらいなので、イチロー語録が多いのもうなずける。スポーツが中心だが、「上手くなりたい」ものを持つあらゆる人に一読をオススメ。

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