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大人のための数学「変化する世界をとらえる」

大人のための数学2

 やりなおし数学シリーズ。

 ガチャピンの名言に、こんなものがある→「すごい!うみには、ふしぎな生き物がたくさんいるね」。うむ、きみのほうがよっぽど不思議だ。同様に、微積分を易しくかみ砕きながら、「sinを追いかけるcos波の高さが、sin波の(接線の)傾きだということは、不思議だよね」という著者に、同じセリフを贈ろう。

 数学のプロフェッショナルでありながら、同時に数学へのワンダーを口にする、いわゆる「天然」なのだろうか。あるいは逆で、その「不思議さ」を感じ取れるように人だからこそ、数学の第一人者となったのだろうか。さておき、今回も愉しい数学の復習だった。わたしが高校生だったころ、微積分あたりから授業のペースについていけず、理解ではなく暗記ばかりでテストを乗り切っていた。その復習をしているだけで、なぜこんなにも面白いのか。

 まず、分かるまでくりかえす姿勢だろう。単に数式の操作だけで証明するのではなく、メタファーと例えを重ねることで、実感として納得させようとする。さらに、「○○は明らかだから」とサラりと流さず、しつこいくらいにやり直して考えさせようとする。微分・積分、三角関数、指数・対数、導関数……やっていることは数IIA(って今でもあるのかな?)のおさらいなのだが、分かりやすさは半端ない。そして、本質が分かった瞬間の快感は射精感に近いものがある。

 たとえば、自然対数の底(てい)をあらわした指数関数の感覚を、次のように想像させる。y=e^x のxに対する近似値をとるのだ。

x が

   1,5
   10
   20
   50

となるにつれて、y=e^x の値は、

   2.7
   148.4
   22026
   485165000
   5100000000000000000000

と、途轍もない値をとる。これは、グラフを見て想像する度合いをはるかに超えている。この「途方もなさ」感覚は、著者の手にかかるとこうなる。

1cm の目盛のグラフ用紙を使った場合、 x=10 のときの y=e^x のグラフの高さは 220m となり、 x=20 になると 5000km に近づく。これは、子午線に沿って赤道から北極までの半分くらいの距離になる。そして、 x=50 になると、地球から銀河系の近くに達するくらいまでの距離になる
 もちろん実証的に数式を分析する手は抜かないが、その一方でこのような感覚的な把握を促すような「たとえ」を用いてくれる。おかげで、微分と積分の本質がようやく理解できた。微分も積分も、変化する世界を測定する方法だったんだね。微分は瞬間(一点)を、積分は積上げで全体をとらえようとするアプローチの仕方が異なるだけで、やろうとしていることは同じだ。

 つぎに、数学は自由だ、というメッセージがビシバシ伝わってくるところ。教科書だと定理を導いたり証明したりして、はい、お終いになる。しかし本書だと、別のアプローチや、異なる概念の結びつきを重視する。例えば、sinを微分するとcosになることについて。ふつうは加法定理で示すらしいが、本書ではもっと直感的に、単位円上にsin(x)とsin(x+h)を記し、相似となる三角形から導き出す(p.70)。hがだんだん小さくなるにつれ、三角形が相似形になる様子が鮮明に浮かんでくる、すばらしい説明だった。

 ちなみに、「一般的な加法定理」のほうは、本書にはない(googleって分かったのだが、習ったはずだが忘れてた)。思い出すためには余弦定理(参考 : KIT数学ナビゲーション)まで遡る必要があった……このリンク先のサイトが典型的で、「数学的に正しい」ことを追求するあまり、無味乾燥な数式の羅列となっている。これらは簡潔で美しいともいえるが、追いかけるのは耐えがたい「作業」で、久々に数学の「辛さ」を思い出す。メタファーに満ち溢れた本書とは対照的だな。

 つまりこうだ。教科書的なやり方だと、sinの微分を求めるために、加法定理を使う。加法定理を使うためには余弦定理を、余弦定理を使うためにはピタゴラスの定理を理解する必要がある……積上方式なんだ。学校の数学とは巨大なピラミッドで、下のほうの石が不安定だと、崩れてしまう。これを、「教科書に載っているということは、どうせ"正しい"ことなんでしょ」と割り切って、基礎を「覚え」てしまうこともできる。すると、安定はするが、積み上がるものは限られてくる。

 いっぽう、本書の方法は違う。もちろんsin、cosの基礎はキチっと説明するが、あとはより図形的で感覚的なアプローチを用いる。本書の目標、つまり「微分と積分の本質を伝える」があるのだから、そこへ到る楽しいルートをたどる。面白くないわけがないのだ。

 思い起こすと、数学の授業は、いわゆるペースメーカーだった。質問したり「不思議」を感じる場ではなかった。デキる奴はさっさと大数(大学への数学)を進め、デキない奴は青チャートの暗記、そしてオチコボレは内職に精を出す。分かることよりも、(問題が)できることの方が優先された。理解よりもテクニックが優先され、それがよしとされていた。

 「分からなかった」のは、時間が足りなかったから(と弁明したい)。制限時間内で問題を解くのが数学ではない。自分のペースで探索し、すでに解決された定理を自らの手で再解決する「エウレカ!」を味わう。どうしても分からなければ、いったん飛ばして、あとで戻ってこればいいんだ。まわり道も無問題だし、道草上等、そんな数学が欲しかった。

 それをかなえてくれるのが、結城浩「数学ガール」と志賀浩二「大人のための数学」シリーズ。期末テストもセンター試験もないのだから、ゆっくり、じっくり、つきあっていこう。これは、暗記暗記で逃げていたわたしへの、ささやかな復讐なのだから。でも、この復讐、楽しすぎるんだけどww

 大人のための数学シリーズは、以下の通り。

すべてのテトラちゃんへ「大人のための数学1/数と量の出会い」

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コメント

個人的な興味としてDainさんがオイラーの公式を評するとどうなるかが気になってます。
まだ、学生の身分ですがオイラーの公式を理解したとき脳汁があふれ出しました。
この快感をDainさんはなにに例えるか楽しみに待ってます。

投稿: todono | 2010.01.13 16:58

>>todonoさん

「数学ガール」で触れてはいるのですが、理解へは程遠いです。i と π が同じ式に表れることの不思議さはあるのですが、美しさや快楽を感じるには精進が必要なのかも。楽しみにしてゆっくり行きます。

投稿: Dain | 2010.01.14 07:02

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