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すべてのテトラちゃんへ「大人のための数学/数と量の出会い」

 やりなおし数学シリーズ。

■1 テトラちゃんという特異点

数学ガール テトラちゃんとは、「数学ガール」に登場する、がんばり屋でドジっ娘の女子高生。数学はちょっと苦手だけど、あこがれの先輩(ヒロシくんとミルカさん)に惹かれて数学の世界にハマる。

 「数学ガール」が素晴らしいのは、このテトラちゃんの存在だ。数学に関する「ふつうの」啓蒙書だと、「先生が生徒に説明する」形式になる。難易度や分野こそ違え、必ずバーチャルな授業の形をとるのだ。異様に飲みこみが早いバーチャル生徒に混じって、読者は教えを「請う」のだ。

 ところがテトラちゃんは、数学が苦手。公式を暗記してそこそこの点を取ることはできるのだが、「なぜその公式なのか?」が分からない。「数学は暗記科目」だったわたしと、かなり被る。そんな彼女が、「分かりません」というとき、暗記ではない数学が始まる。努力家なので、分かるまで手を動かす。数学の本質は抽象化なのだが、そこに飛躍するまでの滑走が、「手を動かすこと」に気づかされる。わたし的にはミルカさんに○○されたいのだが、どうしてもテトラちゃんにシンパシーを感じてしまう。

■2 制限時間がない「数学」

 どうして、「いまさら」、「腹の足しにもならない」、数学をやろうとしているのか?答えは簡単、楽しいから。「分からない→エウレカ!」の瞬間は快楽そのものだし、数学的に厳密に常識が覆されるときの恐怖は、他に比することができない。

 では、どうして、数学の楽しさに目覚めたのか?なぜいま気づいたのか?これも、「数学ガール」のおかげ。「数学ガール」では、分からないものは、分からないと言っていい。そして、できるまで待ってくれる

 これ重要。詰め込みで「分かったような気」だけでやってきた張本人とは、このわたしだ。自分がやってきた「学校の数学」は、一学期だとか数IIAだとか、期限や範囲が決まっていた。数学の問題とは、制限時間内に解くものだった。しかし、「数学ガール」では分かるまで具体化(手を動かす)すればいいし、分からないところはいくらでも戻ってやり直せばいいのだ。なんというパラダイムシフトー!制限時間がなくなるだけで、こんなに数学が面白いだなんて。

 ただ、「数学ガール」にも限界はある。「ゲーデルの不完全性定理」や「フェルマーの最終定理」といった大テーマに挑戦するため、どうしても紙数が足りなくなる。理解を確かめるために、練習問題に挑戦したいのだが、これは「物語」なので先へ進まなければならない。なので、分からないものは放置されてしまいがち。

 そんなテトラちゃんだった読者にオススメできるのが、この「大人のための数学」シリーズ。ものすごくものすごく丁寧に教えてくれる。「数と量の出会い」では、算数のレベルから微積分の入り口まで案内してくれる。ほとんど略すことなく、手を動かす経緯と結果がしつこいくらいに展開されている。基本的な部分こそ密にやっているので、まだるっこしく感じるかもしれない。しかし、飛ばさずに読むことで、数と量にまつわる深い理解を得ることができる。

■3 数と量の世界

数と量の出会い 本書の収穫は、わたしの長年の疑問がスッキリしたことと、それにより数への恐怖が高まったこと。

 長年の疑問とは、「どうして、数える数と、測る数が、同じ『数』なのか?」だ。「測る」は、「量る」や「計る」で読み替えてもいい。1,2,3... とカウントする自然数と、42.195kmなどの実数を一緒くたに「数」として数直線上にあらわすことに、違和感を抱いていた。

 なぜなら、実数とは、「いまそこで測った数」だから。1,2,3 とカウントするのなら、誰が数えても1ダースの卵はきっかり12コだ。だが、フルマラソンならどうだろうか?一定のルールに沿って巻尺で測っているものの、誰が・いつ測っても、同じ値になるだろうか?そんなワケない。42.195kmちょうどなんてありえなく、ちょっと長いか短いかだろう。だいたい地球は丸いしアップダウンもあるのだ。だから、わたしたちは測定したものを、「おおむね42.195km」としているにすぎない。その、「おおむね42.195km」を、誰がいつカウントしてもまちがいのない「12コかっきり」と一緒にするのは、おかしい。

 「いま測った、その数値」を、もっと一般化している「ある数字」と同じ扱いにすることはできない…そう感じていた。わたしは、実数をリアル・ナンバー(real number)そのままの意味で考えていた。そのため、後の集合論になって、「任意の区間の実数全体を各要素に持つ集合」とか「実数の集合から選択された集合」という抽象的な考えについていけなくなったのだ。もっと極端にいうならば、「実数を数直線上にプロットする」という言い方自体、矛盾してない?と思っていたのだ。

 このわたしの「割り切れなさ」を見事にあぶりだしてくれたのが、「数と量の出会い」だ。著者は「数える数字」と「量る数字」がいかに生まれ、出会っていくかを物語のように解説する。そこには、具体的な数式のほかに、「人の意識の歴史」が織り込まれている。

 たとえば、著者は「分数」が扱われなくなっていることを指摘する。新聞の見出しでもいいし、文中の表現でもいい。分数の代わりに、小数や比の数(割合)が多く登場してきている。これは何を意味しているのか?

 分数は、元となる全体があって、ある部分を表している数だ。だから、1/8とか1/6という一つ一つの表示に対して、固有の意味を持つ個性的な数なのだという。つまり、分数が出てきたとき、それが何の1/8なのかという意味が重要になるのだ。それが「ピザの1ピース」なのか、「ダブルソフトの1枚」なのかは分からないが、分数は常に具体性を持っており、「集団としての数のはたらきに融けこませないようにしている」という。

 そうした分数が使われなくなる一方で、小数が代わりに出てきている。来年度予算の1/6ではなく、およそ16.7% という表現になっている。これは、具体的な世界を正確に映す数ではなく、抽象的なところではたらくことができる数だという。小数を使えば、足し算やかけ算などの演算が自由にできる。ということは、小数が完全に抽象的な数の世界に「融けこんでいる」ことを示しているというのだ。

 いま息子がやっている算数に対し、わたしが抱いている違和感はこうだ。1メートルのロープと2メートルのロープをつないで3メートルになるということは、1+2=3 とは違う。1メートルに近いロープと2メートルに近いロープをつなげば、だいたい3メートルになるということにすぎない。それでも、と著者はいう。それでも1メートル+2メートル=3メートルという式は正しいと考えることができるという。そして、そこには、量の正確な値は近似という操作を限りなく行っていけば、ついにはとらえられるという直感がはたらいていると指摘する。

この私たちの直感は、誤差が限りなく小さくなっていく果てには、必ず1つの長さとして取り出される量があるということである。そこにはたらくのは「量の世界」の対象となる存在に対してもつ、私たちの先験的な認識に違いない。

無限はこのように、数と量のなかにまったく異なった姿をとって取りこまれている。もしこれを総合する道があるとすれば、それは抽象的な数も、測られる量として表され、近づくという性質を獲得することが必要となり、一方、「量の数」は個々の測る対象から離れて、抽象性を帯びて自由に数として演算ができることが望まれてくる。それは数学が新しい数体系の創造を目指すことを意味している。

こうして実数という数体系が数学のなかに生まれてきた。実数は数直線上にまったく抽象的な完結した「数の世界」として実現されている。ここでは数は長さという量によって測られるのである。ここには分数も小数もすべて含まれている。この実数こそ、無限大と無限小という対極的な概念を包み込んでいる実在の世界を表現する数であるに違いない。実際、実数は英語でreal numberというのである。
 ここに到って、ようやく「実数」を実感した。わたしの違和感は、違和感として残しておいてよかったことが分かった。ある値に「近づく」という性質は、そのまま無限の可能性をはらんでいる。わたしの「理解」は中学数学レベルかもしれないが、ようやく腹の底から「理解」できた。

■4 数と量の恐怖

 同時に、いままで深く考えず常識だと信じていたものがひっくり返り、恐怖に駆られることもあった。数直線上の「量」としてみなすことで、数と量を実数で包むことができた。しかし、その一方で、「絶対に正確にプロットできない数」というものが存在することも、「理解」できた。

 それは、√2などの無理数や、1/3などの循環小数だ。紙の上の数直線上ではなく、頭で考えたならば、メモリを1/10、1/100、1/1000... と、どんなに小さくしていっても、その場所を示すことができない。学校でやったときは、1.41とか0.33とか、「だいたいこの辺り」に適当に点を打ってごまかしていたが、どんなに目盛のスケールを変えてもたどりつけないことを、実感として「理解」したのだ。つまり、数直線上に「隙間」があることに気づいたにほからならない。

 もちろん無理数の性質として、知識としては知っていたが、それでも数直線とは、有理数がびっしりと詰まった線だと思っていた。0.333... は1/3にして、循環させなければ封じ込めるからね。しかし、「無理数は簡単につくれる」ことを知って愕然とした。しかけはこうだ。

   1/3 = 0.333...

 この循環小数の3の1番目、10番目、100番目、1000番目のところだけ3を4に変えてみると、この数の並びは決して循環しないから、これは無理数となる。また2、4、8、16番目と2のべき乗のところだけ3を1に変えても、同じように無理数になる

   0.33△3......3△3............3△3..................3△3........................3△

と、間隔が次第に大きくなっていくように△を決めれば、その△に3以外の好きな数字を入れるだけで無理数が作れる。そして、このように無理数を作ってみると、無理数は1/3のまわりに密集していることがよくわかる。著者曰く、「無理数の海のなかに1/3が浮かんでいるという感じさえしてくる」。これは手を動かすことで、イメージングできた。

 そうすると、いままでの数直線のイメージが変わってきた。有理数の隙間に無理数が入っているという感じではなく、これも著者の表現だが、「無理数は数直線上を濃い霧のようにおおって広がっており、その間に有理数が点在している」ようなものになる。逆なんだ、無理数の海の中に有理数の1/3が浮かんでいるかのように見えてくる。数直線のそこだけが隙間どころか穴ぼこだらけであることを、「理解」してしまうのだ。これは、怖い。この恐怖は、ひょっとすると独り相撲かもしれない。それでも自分の「アタリマエ」が覆される瞬間はゾクゾクさせられる。

 えらく長くなったが、こんな「気づき」が沢山得られた。時間を気にせず数学と向き合うと、自分の中で「発見」ができる。この快や恐れのために、数学をやりなおしてみよう。

 最後になったが、こんなオヤジになって数学をやりなおそうというきっかけをもたらしたのは、結城浩さんのおかげ。とても、とても、感謝してます。「大人のための数」シリーズを踏破した後、もう一度「数学ガール」たちと付き合ってみるつもり。だいじょうぶ、ミルカさんは待っててくれるはずだから。新作ではヒロシくんと進展するといいなぁ、と期待しつつ。それから、一人称「僕」に real name を付けてもらうことを期待しつつ。

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コメント

>それは、√2や1/3などの循環小数だ。
細かいことですが√2は循環しないかと思われます!

投稿: | 2009.12.28 01:36

>>名無しさん@2009.12.28 01:36

ご指摘ありがとうございます、訂正しておきました。

投稿: Dain | 2009.12.28 06:53

いつも楽しく読ませて頂いています。

数学の面白さを発見されたDainさんなら、Sシン著の『フェルマーの最終定理』は間違いなくオススメです。(既読でしたらすいません。)一つの公式を廻る四百年のドラマは、一読の価値があります。

投稿: たくあん | 2009.12.28 15:07

初めてコメントさせていただきます。藤原正彦とか数学または数学者について「わかりやすく」書かれた本が好きです。「数学ガール」すごく面白そうですね。是非読んでみたいです。

投稿: ac360 | 2009.12.28 19:36

>>たくあんさん

S.シンの「フェルマーの最終定理」は既読です。数式を排除してなおかつ数学の醍醐味をスリリングなほどに追求した傑作ですね。チェス板を白黒タイルで敷き詰める話が興味深かったです。そういや今年読んだのにレビュー忘れていました、そのうち載せますね。


>>ac360さん

はい、「数学ガール」は数学とまともに向き合える喜びがあります。分かりやすさと奥深さの両方を備えた、めずらしい一冊です(ただし、手加減はナシです)。

投稿: Dain | 2009.12.28 22:02

前略 はじめまして。小飼弾さんの方でも記事のネタをもらった者です。過去の記事を読んで解説できそうと思ったので、私のブログの話題にしてみました。宜しければご一読ください。草々

投稿: ohshio_t | 2010.04.16 18:47

>>ohshio_tさん

おお、すごいです、感覚的に分かります、それ→「有理数より無理数の数が多い」……ただ、きちんと証明するほどのアタマは備えていないのでくやしいです。期末テストも論文もない数学なので、一生かけてゆっくり付き合って生きますぞ。

投稿: Dain | 2010.04.16 22:09

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受信: 2010.04.16 18:03

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