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数式なしでわかった気になれる「ゲーデルの哲学」

ゲーデルの哲学 岩波文庫で撃沈したが、本書から攻めたらすんなり入れた。数式を使わずアナロジーを用いることで、不完全性定理のイメージを上手く伝えている。同時にゲーデルの生涯を追いながら、不完全性定理の哲学的帰結までたどっている。

 哲学的帰結は以下のとおり。

全数学を論理学に還元することは不可能である
全数学を公理化することも不可能である

 この完全な理解にはほど遠いものの、感覚的に分かった。おかげで、あれほど確固なものだった「数学」が、実は「信念」を積み重ねた楼閣に見えてしようがない。わたしは、「数」を信じるように、不完全性定理を信じる。

■01 受験数学の呪い

 「要するにどういうことか」は、理解をすッ飛ばして記憶した。数学は暗記科目――受験数学の呪いは骨の髄まで浸透している。公理と定理を暗記して、adaption パターンを習得するのが「数学」だと思い込んでいた。

 そこには、自ら定理を導出する喜びや、新たな定理を発見する興奮なんて、まるで無い。「受験数学」という巨大なスプレッドシート、そこにびっちり埋まった定理・証明を、いかに効率よく網羅するかがポイントだった。

 究極の数学とは、A1からIV65536の全てを定理・証明で埋めることだと思っていた――ここで止めておけばよかった。そうすれば、少なくとも数学に対する信頼感は揺らぐことはなかっただろう。

■02 第1不完全性定理のイメージ

 しかし、このトシになってゲーデルに興味を持ってしまったのが運の尽き。疑うことなく信じてた(記憶した)足元がくずれはじめる。なぜなら、A1からIV65536の中に、「証明不可能」のセルがあることが分かったから。

 たとえば、ゴールドバッハの予想(4以上の偶数は素数の和)、あるいは、奇数の完全数の未解決問題。これらは未だに証明も反証もされていないという。いやいや、それは人手や非力なコンピュータだったからであって、そのうち、そのセルは「証明済」になるはず。

 では、じゅうぶんな時間をかけて立派なコンピュータを用いれば、全てのセルを「定理・証明済」にできるのかというと―― そいつを先回りしてダメ出しをしたのがゲーデル。

 つまり、わたしが知っている数学(公理系)が、Excelシートの個々のセルに展開されるとき、証明も反証もできないセルが、必ず存在することをゲーデルが証明したわけ。これは65535行の制約を外しても、わたしの知らない数学(公理系)まで展開しても、一緒。

■03 第2不完全性定理のイメージ

 ほとんど直感に近いところで理解した(つもり)。言葉をかえると、「あなたが矛盾しないことをあなたは証明できない」になる。Wikipediaはもっと精確に、次のように述べている。

自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない

 自分が矛盾しているか否かは、確定された別の客体によって証明されるもの、というのは感覚的に分かる。しかし、それだけではないらしい。

さらに、ゲーデルは、数学が公理系によって正当化されることを認めた上で、その公理の正当性を認識するのは、「数学的直感」に基づくという新たな見解を述べている。彼は、「諸公理は、それらが余儀なく真であることを、私たちに強いるのである」という

 「強いる」と太字化したのはわたし。この一言にガッツンとやられた。いまの数学が正しいと信じていられるのは、わたしが人間だからなんだね。ん? すると数学的直感をもたらしている「外側」は、一体どこからなんだろうね? と考え始めると、薄ら寒くなって、思わず背後をふりかえる。数学的対象が、人間精神から独立した存在で、その真理性を保証しているのは「神」にしたくなる。

■04 ゲーデルの哲学的見解

 1960年頃に書かれた、ゲーデルの哲学的信条は、以下のとおり。

  1. 世界は合理的である
  2. 人間の理性は、原則的に、(あるテクニックを介して)より高度に進歩する
  3. すべての(芸術等も含めた)問題に答えを見出すために、形式的な方法がある
  4. (人間と)異なり、より高度な理性的存在と、他の世界がある
  5. 人間世界は、人間が過去に生き、未来にも生きるであろう唯一の世界ではない。
  6. 現在知られているよりも、比較にならない多くの知識が、ア・プリオリに存在する
  7. ルネサンス以降の人類の知的発展は、完全に理性的なものである
  8. 人類の理性は、あらゆる方向へ発展する
  9. 正義は、真の科学によって構成される
  10. 唯物論は、偽である
  11. より高度な存在は、他者と、言語でなく、アナロジーによって結びつく
  12. 概念は、客観的実在である
  13. 科学的(厳密な学としての)哲学と神学がある。これらの学問は、最も高度な抽象化概念を扱う。これらが、科学において、最も有益な研究である
  14. 既成宗教の大部分は、悪である。しかし、宗教そのものは、悪ではない
 なんて素敵なオポチュニストなんだろう、うらやましいなぁ(死にざまはペシミスティックだったが)。ともあれ、数学がもっと柔らかいものであることに気づかされた一冊。ちなみに、神の存在証明の全文が紹介されていたが、理解不能、他から攻めてみよう。

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川端康成ホラー傑作選

Kataude_kawabata 世界に誇るロリ小説の大家は、幻想的な怪談を書いていた、という話。

 彼ほど美少女を描くのが上手い小説家はいない。そして、彼ほど美少女を追い求めた作家はいないだろう。

 すごい美少女って人間ぽく見えない。あまりに整いすぎている見目は、人外いう言葉が似合う。しかも、あかりを消して見る女の裸は、この世のものとは思えない。夜の底に沈む白さは、冥土への途なのか――うつくしい女は、どこか化け物じみている。究極のおんなは、もののけなのかも。

 やはりというか、当然というか、白眉はこれ。

「片腕を一晩お貸ししてもいいわ」と娘は言った。そして右腕を肩からはずすと、それを左手に持って私の膝においた。

この文からはじまる幻視的な一夜は、何度読んでも恐ろしい。むかし観たB級ホラー(題名失念)で、腕が持ち主を探す場面を思い出す(白い蜘蛛のように這いまわっていた)。

 話者が見聞きしたイメージを重ねることで、心情を表現するのが非常に上手い、そしてエロい。「眠れる美女」と同等、いやそれ以上にフェチ臭い。美少女は、本体よりもパーツの方がうつくしい―― ここでナイフを使うのはサイコパスだろうが、川端はもっとスマートに欲望を満たしているね

 かなり怖かったのが「ちよ」→「処女作の祟り」の2連コンボ。「処女作の祟り」だけ既読だったが、「ちよ」と重ねて読むと、読後感が一変した。さっき読んだ作品が幻だったのか、あるいは今読んでいるのが幻なのか、という気になる。

 両作品は以下のようなメタ構造になっている。

   {(「ちよ」の話者の小説) ⊆ (「処女作の祟り」の話者)} という小説

「ちよ」は、「ちよ」という名の娘に取憑かれた若者を描いた川端の処女作。そして、「処女作の祟り」は、「ちよ」という名の娘の運命を支配する作家の回想録。ちなみに、修善寺で全裸になった、あの踊子の名は「ちよ」という。

 作中作で自作を語るのは珍しくもないが、つなげて読むと、「さっきわたしが読んだのは本当?」と不安になってくる。この仕掛けは上手い。

 他にも、サイコキネシスやテレパシー、オーソドックスな幽霊奇譚、サイコ・ホラーの先がけといった怪談噺で山盛りだ。どれも女の話ばかりなので、通しで読むと、うつくしい女は、どこか化け物じみてくる。気のせいなのか、それとも、ひょっとすると…

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