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「無限のスーパーレッスン」に酩酊する

無限のスーパーレッスン ゲーデル入門のつもりで読んだが、「数」の恐ろしさを思い知ると同時に、確かだと思い込んでたリアルがゆらぐ。急に足元が消えたような感覚にとらわれる。そのへんのミステリよりも背すじが寒くなる。

 8章まで面白く読める。聞き手の「おっさん」が程よく分かっていないので、絶妙の質問をしてくる。まるでわたしの代わりのようだ。おかげで、「わからない」から「わかる」快感をたっぷり味わう。

 興味深いのは、「わかった」とするときの居心地悪さ。アタマでは分かっても、腹に落ちない「だまされているような感覚」がつきまとう。例えば、

 「1= 0.999…」について、ありがちな説明として、

   1 = 1

 両辺を3で割る。左辺は分数、右辺は小数で表現すると、

   1/3 = 0.333…

 両辺に3をかけると、

   1 = 0.999…

 聞き手の「おっさん」は、これがうさんくさい、という。

 つまり、0.9999999999999999999…とどんなに1に近づいても、1にはならないのならイコールじゃない、と言い張る。このツッコミは新鮮。わたしなんて、疑問にも思わず(したがって理解もせず)「こんなものだ」と覚えてしまっていたから。それをしつこく解説する。

 「1= 0.999…」について、もうひとつの説明として、

   S = 0.999…   とする

 両辺を10倍すると、

   10S = 9.999…

 両辺からSを引くと、

   10S - S = 9.999… - 0.999…    ←※

   9S = 9

 両辺を9で割ると、

   S = 1

 最初に「S = 0.999…」としたので、

   1 = 0.999…

 「おっさん」はそれでもおかしいという「無限というのは、…がずっとくり返される、終わりなく続くもの。これを"S"という、あたかも一つの記号に置き換えられるのが不自然だ」と抵抗する。わたしにとって、※の計算が居心地悪い。アタマでは分かるが、計算しつくせないものを終わらせているから。

    9.9999999999999999999…
 -) 0.9999999999999999999…
 ―――――――――――――――
    9

 そんな「おっさん」を相手に無限のレッスンが続く。萌え(?)を意識したのか、妙齢の美人教授を登場させ、コスプレや奇矯な言動をさせたり、読み手を飽きさせない工夫が随所にある。

 オイラーの計算も面白い。以下の計算を無限に行ったらいくつになるか?

   1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) …

 こいつを、Sで置き換えると、

   S = 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) …

   S = 1 - { 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) …}

   S = 1 - S

   2S = 1

   S=1/2

 しかし、Sは

   1 = 1

   0 = 1 + ( - 1 )

   1 = 1 + ( - 1 ) + 1

   0 = 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 )

   1 = 1 + ( - 1 ) + 1 + ( - 1 ) + 1

   …

 と、どんなに足していっても、0か1の間のどちらかの値をとるだけで、無限に続けても1/2にはならない。オイラーの計算とコーシー列の解説から、数とは何か、という本質的な理解が得られる。

 面白がって背理法や集合論のレッスンに付いていくと、「ラッセルのパラドックス」が突きつけられる。「集合の集合」にヤられる。偽命題として「1=0」が証明されてしまう(そして、理解できる)。わたしの理解していた数学がウソだと証明されたようで、自分の正気を真剣に疑う

 あるいは、コーシー列の解説の際、「おっさんが」が数直線上の1を疑い始める。

「うーん、1に無限に近づくことはできるんやけど、ぴったり合うところがあらへんのちゃうか、ゆう不安ゆうか、恐怖ゆうか。近づいても近づいても絶対そこへはたどりつかへん、ゆうかな。」
「そうそう、そういう感覚なんです。自分の頭で思っている数直線と、現実の数直線が、よくよく調べてみるとズレてるんじゃないか、という不安感があるんですよね」

 そう、わたしも。数学ってもっと確固としたものだと思っていた感覚がゆらぎはじめる。このめまい、酩酊感は、ちょっとこわい

 数学を暗記科目だと割り切るようになったのは、虚数から。虚数は数直線上にプロットできないと説明されて、嘘くさい数だとヘソ曲げたのがきっかけ。「数ではないのに数学とはこれいかに」なんてセンセに問答をふっかけたり。

 おかげで「青チャート」+「大学への数学」だけで終わったつもりでいた。たしかに点は取れたけど、非常にもったいないことをした。実在無限で済ませていたのが、可能無限に気づいてしまったというべきか。

 で、肝心の9章。残念ながら、不完全性定理は理解できなかった。8章までと異なり、たとえ話だらけとなっている。「たとえ話」で伝えたいことは薄ら分かるのだが、理解できない。だから、「そもそも自己言及のパラドクスじゃぁねぇの? ラッセルがダメでゲーデルがセーフなのはなぜ?」という疑問が出てくる。精進が足りん。

 分かるところだけつまみ食い的に読んでも、かなり酔える。さて、こんな調子でGEBまで行けるか!?

1章 無限は本当に存在するのか?
 1.1 大きな数を言う勝負は後手必勝?
 1.2 宇宙の果てはどうなっているの?
 1.3 アキレスは亀に追いつけない?
 1.4 有限の人間が無限を扱えるのか?
 1.5 無限の足し算は終わるのか?

2章 数とは何か?
 2.1 コーシー列って何ですか?

3章 無限には二つの種類がある
 3.1 可能無限とは何か?
 3.2 実在無限とは何か?

4章 無限の大小の調べ方
 4.1 無限はどうやって数えるのか?
 4.2 ベルンシュタインの定理って何ですか?
 4.3 大小関係にはどんな可能性があるか?
 4.4 対角線論法とは何か?
 4.5 どんな無限よりも大きい無限はあるのか?

5章 パラドックスとは何か?
 5.1 自己言及と矛盾の関係とは?
 5.2 存在そのものが矛盾する?

6章 ヒルベルトさんの無限的センス
 6.1 「20世紀に解かれるべき23の問題」とは?

7章 公理なくして数学なし
 7.1 点と点を線で結べることは証明できますか?
 7.2 三角形の内角の和は2直角なのか?

8章 ヒルベルトさんの夢
 8.1 公理の意味をすり替えた犯人はだれだ?
 8.2 椅子PQはビールジョッキRを通らない?
 8.3 無限を使っても数学は変にならないのか?

9章 ゲーデル不完全定理の誕生
 9.1 数学の公理系ってどんなもの?
 9.2 命題「私には証明がない」って正しいんですか?
 9.3 ヒルベルトさんの夢は砕かれてしまうのか?

10章 ゲーデル以降の無限
 10.1 永遠に解けない問いがあるのか?
 10.2 バナッハ・タルスキの嘘のような定理は本当なの?
 10.3 いつになったら終わるの?

おまけ 魔法のキャンデー
 無限か0か?
 地球人と火星人のための公理って?

 この本は、G★RDIASの「無限のキャンディーに隠された秘密」がきっかけ。良い本を教えていただき、kanjinaiさんに大感謝。リンク先のアリスと手品師のキャンデーの問題が面白い。本書を手にする前に、トライしてみてはいかが?


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コメント

はじめまして。
とても面白そうな本ですね。

もうちょっとくだけているかもしれませんが、似た系列の本で、
『無限論の教室』(野矢茂樹・講談社現代新書)という本が
面白かったのでご紹介いたします。
また、ゲーテルに興味がおありなら同著者の『論理学』(東京大学出版会)
を読まれてはいかがでしょうか。
ゲーテルの不完全性定理の証明が概観できます。

もうご存知かもしれませんけども…。
ライトノベルからホフスタッターまですごい守備範囲で驚きです。

投稿: sarumino | 2007.09.07 00:21

(不肖、数学科出身ですが)岩波文庫の本編の不完全性定理は、今後、挑戦予定なのを思い出しました、明日、買いに行きます。ゲーデルの定理の解釈については、チャイティンのエッセイが面白いですよ。

投稿: 金さん | 2007.09.07 02:03

そもそも割り切れない割り算結果をイコールで結ぶという出発点が間違いって気がしてきた。

投稿: Sophie | 2007.09.07 09:26

「割り切れない」のではなくて、「10進法で結果を書き切れない」だけだと思うのですが。3進法だったら、即結果が出ますし。

投稿: 金さん | 2007.09.07 09:44

0.9=1の問題は、とあるカルト宗教の教祖が「科学や数学がいかにいい加減で、当たり前のことに疑問を持たないことがいかに怖いことかを教えてやろう」とか言って3分の2+3分の1を少数で計算させて1にならないことを自慢げに話してるらしいっすよ。

投稿: | 2007.09.07 09:58

論点がずれますが、Googleで、1/3+1/3+1/3とか、1/3*3とか、やってみてください。

投稿: akon | 2007.09.07 11:33

アリスのたとえ話(私はこの喩えに納得できませんが)で言わんとしている,自然数と偶数の個数(濃度)が同じという話(1対1対応)に納得できるのなら,※もそれぞれ同じ桁同士を引き算するということで納得できませんでしょうか.

投稿: cobra | 2007.09.07 22:30

私が一番面白く読んだ数学関連書は、
「ゲーデルの哲学―不完全性定理と神の存在論」高橋昌一郎
です。
神の存在証明(肯定も否定も!)は燃えますよ。
不完全性定理は高校数学の知識しかないものには、正しく理解出来ません。
岩波文庫の本編の不完全性定理は、林先生の解説が素晴しく判り易く、理解出来ないことが理解出来て、ゲーデル熱が下がる良書です。
超数学ももう古い!これからは逆数学の時代だに!!

投稿: goldius | 2007.09.07 23:10

>> sarumino さん

「無限論の教室」は、図書館で借りてパラ見しただけです。「論理学」の方がおもしろそうなので、読みます。教えていただいて、ありがとうございます。

不完全性定理の「本文」を読んだのですが、撃沈しました。ゲーデルが証明したいことは理解できるのに、どうやって証明しているのか、どうやったら証明になっているのかがサッパリです。

GEBは、分かる範囲でおもしろがってみようかと。

>> 金さん さん

岩波文庫の「本文」は全く歯が立ちませんでした。なので、本文の3倍の「解説」を読んでいるところです。数学を専攻されたのでしたら、きっと理解へ到達できるでしょう。ご健闘をお祈りします。

で、3進法でやってみたら(10進→3進)

   1→1
   2→2
   3→10
   …

だから、

   1 / 3 → 1 / 10 = 0.1

   ( 1 / 3 ) * 3 → ( 1 / 1 0 ) * 10 = ( 0.1 ) * 10 = 1

うぉっ、いきなり解けた。10進のこだわりを捨てるだけで一気に解決。考えてみると、10進で計算しなきゃいけない、なんてアタマが固い証拠ですね(反省)。

同じようなアプローチは↓にもありました
http://q.hatena.ne.jp/1152759792

>> Sophie さん

   > そもそも割り切れない割り算結果をイコールで結ぶという出発点

おお、たしかに。ここに疑問を挟むと、「両辺が等しいものを同じ数で割っても、等しい」が崩れることになります。つまり、

   1  =  1

上記は、両辺は1で、等しい。上記を3で割ると…

   1 / 3  =  1 / 3

ここまで等しいけれど…

   1 / 3  =  0.99999999…

割り算結果をイコールで結んでいるのではなく、最初からイコールで結ばれている式に操作しています。両辺が同じものを同じ数で割ると、等 し く な ら な い 、ということになっていまいます。うぐぅ。金さんさんの「10進法で結果を書き切れない」と解釈したほうが吉かと。

>> 名無しさん(2007.09.07 09:58 )

その方法イタダキ!


>> akon さん

いえいえ、akon さんのおかげで、ステキなネタを思い出しました。ご存知かもしれませんが、浮動小数点の丸め誤差の話です。

Excelの演算誤差の例として、セルに以下のとおりに入れます。

    =(1.1-1-0.1)

結果は、以下のとおり。

    8.32667E-17 (Excel 2000/ver.9.0.6/sp3)

同様に、Perlにやってもらうと、

    8.32667268468867e-017 (perl v5.8.8 for MSWin32-x86)

上記の「金さんさん」のコメントで述べましたが、人が10進で考えるように、計算機は2進で演算するのがデフォなんですね。ただし、おもしろいことに、google spreadsheets や、google電卓だと、ちゃんとゼロで返してくれます。

ネタ元↓
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/software/excel/roundoff.html

>> cobra さん

   > 自然数と偶数の個数(濃度)が同じという話

「濃度が同じ」には納得できます。数えたことがない(数え切れない)けれど、濃さが厳密に同じなら、同数でしょ、という考え方は、分子の計算に似ていますね(mol)。

※の「納得しきれなさ」は、終わらない桁同士の計算を済ませるところにあります。確かに同じ桁同士を引いていけば(そしてそれをずっと続けていけば)小数点以下はゼロになるでしょう。が、その果てを誰かが見たのか?というツッコミは、本書のおっさんが指摘しています。

>> goldius さん

アツいオススメありがとうございます、「ゲーデルの哲学」はぜひ手にしてみます。不完全性定理の本編はあきらめました。外堀から面白がれるとこまで行ってみようかと。


投稿: Dain | 2007.09.08 07:44

初めまして。好きな話しなんで参加させてもらいます。

不完全性定理っていうのは数学の形式公理系は全て「矛盾」を導くか、「不完全」であるか、というふうに理解してます。(「矛盾」は偽の定理を導くで「不完全」は真の定理を証明できない。)

ラッセルのパラッドクスでの公理だと不完全で、他の公理だとうまくいくそうですよ。

ゲーデル自身の証明を理解するのはとても難しいので自分もリタイアした経験があります。他の人の証明をみてからチャレンジして見てはいかがですか。

自分もチャイティンの「知の限界」がおすすめです。
この本は他の本と違って主観(偏見?)が入り混じっていて読みやすかったです。

投稿: yasu | 2007.09.09 23:56

>ラッセルがダメでゲーデルがセーフなのはなぜ?

ズバリ、ラッセルの場合
A⇔¬A
なる命題Aをつくってしまうのに対して、
ゲーデルの場合は"証明できる”という
様相□を用いることで
A⇔¬□A
なる命題を作ってるわけです。
(完全性を、
"任意の命題AについてA⇒□A"
とした場合、上記の命題はその反例
になっているというわけです)

前者は、古典論理では矛盾を導きますが、
後者では、そういうことはありません。

投稿: 通りすがり | 2007.09.10 17:05

GEBは分かり易いと思いますが、実は肝心の話に辿り着く前にみなさん諦めちゃうんで。
具体的にはPartⅡの13~14章あたりをまず読んでみましょう。

投稿: 通りすがり | 2007.09.10 17:20

>> yasu さん

数学は理解せずに覚えてきたせいで、なかなか手が出せませんでした。ラスボスを不完全性定理として、楽しんでみようかと。

数学って、もっと客観的なものだと思い込んでいましたが、ずいぶん違うようですね。チャイティンの「知の限界」は、手にとって見ます。

>> 通りすがりさん

ズバリな説明、ありがとうございます。わたしが本書でカジった内容がシンプル&明快に説明されていて、気持ちがいいです…が、わたしのアタマでは「理解」までたどり着けません。

  >ラッセルがダメでゲーデルがセーフなのはなぜ?

このツッコミは、本書の「たとえ話」になされています。9章の命題「私には証明がない」の説明が、ラッセルの説明であった自己言及と似ていたため、悶えてたのです(←分かってない証拠ですね)。

ラッセルのパラドックスについては、ものスゴくわかりやすい説明を見つけました↓これ読んで精進します。

http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20070910

投稿: Dain | 2007.09.10 23:46

>「私には証明がない」の説明が、ラッセルの説明であった自己言及と似ていた

基本的には同じ対角線論法をつかってますから、似ていると感じるのは当然かと思います。

ところで、ラッセルのパラドックスの非常識な回避の仕方として
A⇔¬AとなるようなAに真でも偽でもない真偽値を与える論理を考えるというやり方もあります。

投稿: 通りすがり | 2007.09.11 09:07

>> 通りすがり さん

  > A⇔¬AとなるようなAに真でも偽でもない真偽値を与える

ぐはッ(大ダメージを受けた音)

降参です。この一文でついていくことができません。
通りすがりさんの文はとても短いのに、理解するためには、脳+ネットをフル動員する必要があります。正確に書くことを心がけていらっしゃるので、こちらも(なるべく)正確に理解しようと努力してきましたが、もうムリです。

Aは、真か偽かのいずれかであって、真でも偽でもないという論理は、「命題」という定義から外れているとしか考えられません。なぜなら、命題とは、真か偽かを判断するための文なのですから(←ここで思考停止)。

投稿: Dain | 2007.09.11 23:54

>命題とは、真か偽かを判断するための文なのですから

命題が真偽値をもつ、と考えるのはいいと思います。
問題は、真偽値が真か偽かの2つしかないという点。
別にそう考えなくてはいけない理由はないわけです。

ルカシェヴィチというポーランドの論理学者は
ラッセルのパラドックスの回避のために多値論理を
考えたそうですよ。

投稿: 通りすがり | 2007.09.12 08:45

>> 通りすがり さん

  > 問題は、真偽値が真か偽かの2つしかないという点。
  > 別にそう考えなくてはいけない理由はないわけです。

┣¨━━━ヽ(゚Д゚)ノ━━━━━ン!!!

「命題は真偽値のいずれかをもつ」をジョーシキとしてアタマがガチガチになっていました。まるで、世の中はオトコとオンナだけでなく、オカマやオナベやフタナリがいることを知ったとき以来の衝撃です。

投稿: Dain | 2007.09.12 21:48

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反応が遅くなりすぎるのもよくないのでざくっと。モティベーションはわたしが知らないスゴ本は、きっとあなたが読んでいる: 「無限のスーパーレッスン」に酩酊する。Wikipedia(ja)によるゲーデルの不完全性定理の項はこちら→ゲーデルの不完全性定理 - Wikipedia ラッセルの... [続きを読む]

受信: 2007.09.14 14:03

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